Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание № 579
i

ABCDA1B1C1D1  — куб. Точка K лежит на ребре AD куба так, что AK : KD  =  1 : 4. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния дробь: чис­ли­тель: 16, зна­ме­на­тель: ко­си­нус в квад­ра­те фи конец дроби , где φ  — угол между пря­мы­ми D1K и A1C1.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть ребро куба равно 1. Вве­дем де­кар­то­ву си­сте­му ко­ор­ди­нат с на­ча­лом ко­ор­ди­нат в точке B. Имеем: D_1 левая круг­лая скоб­ка 1; 1; 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , K левая круг­лая скоб­ка 1; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби ; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка , A_1 левая круг­лая скоб­ка 1; 0; 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , C_1 левая круг­лая скоб­ка 0; 1; 1 пра­вая круг­лая скоб­ка . Най­дем ко­ор­ди­на­ты век­то­ра \overrightarrowD_1K:

\overrightarrowD_1K = левая фи­гур­ная скоб­ка 1 минус 1; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби минус 1; 0 минус 1 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка = левая фи­гур­ная скоб­ка 0; минус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби ; минус 1 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

Най­дем ко­ор­ди­на­ты век­то­ра \overrightarrowA_1C_1:

\overrightarrowA_1C_1 = левая фи­гур­ная скоб­ка 0 минус 1; 1 минус 0; 1 минус 1 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка = левая фи­гур­ная скоб­ка минус 1; 1; 0 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

Най­дем ко­си­нус углы между пря­мы­ми D1K и A1C1:

ко­си­нус фи = дробь: чис­ли­тель: | \overrightarrowD_1K умно­жить на \overrightarrowA_1C_1|, зна­ме­на­тель: | \overrightarrowD_1K| умно­жить на | \overrightarrowA_1C_1| конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 0 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 1 плюс левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 0, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 0 в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс 1 в квад­ра­те плюс 0 в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та конец дроби =
= минус дробь: чис­ли­тель: дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби , зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 41 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби умно­жить на ко­рень из 2 конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 82 конец ар­гу­мен­та конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 82 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 41 конец дроби .

Най­дем зна­че­ние вы­ра­же­ния дробь: чис­ли­тель: 16, зна­ме­на­тель: ко­си­нус в квад­ра­те фи конец дроби :

дробь: чис­ли­тель: 16, зна­ме­на­тель: ко­си­нус в квад­ра­те фи конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 16, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 82 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 41 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 16, зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 41 конец дроби конец дроби = 82.

Ответ: 82.

Сложность: V
Спрятать решение · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025